Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-4，數(shù)列{b_n}的首項為6，（

bn

，0）是雙曲線a_nx²-a_n-1y²=a_na_n-1的一個焦點．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線a_nx²-a_n-1y²=a_na_n-1的離心率為e_n（n≥2），求證：不等式

n

k=1

9(k+1)

k2•bk•bk+1

＜

1

4

+log9en對任意整數(shù)n≥2恒成立．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）在數(shù)列遞推式S_n=2a_n-4中，取n=1求得首項，結(jié)合a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求數(shù)列{a_n}的通項公式，代入
a_nx²-a_n-1y²=a_na_n-1后再由（

bn

，0）是雙曲線a_nx²-a_n-1y²=a_na_n-1的一個焦點求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）由雙曲線方程求得離心率為e_n=

3

，然后分別證明

1

4

+log9en=

1

4

+log9

3

=

1

2

，

n

k=1

9(k+1)

k2•bk•bk+1

＜

1

2

得要證的結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當n≥2時，由S_n=2a_n-4  ①，得S_n-1=2a_n-1-4  ②，
由①-②可得：a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
又當n=1時，S₁=a₁=2a₁-4，
∴a₁=4，
故數(shù)列{a_n}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，
從而an=4×2n-1=2n+1，
由anx2-an-1y2=anan-1，
得：

x2

2n

-

y2

2n+1

=1，
∴bn=2n+2n+1=3•2n；
（Ⅱ）證明：由雙曲線的方程

x2

2n

-

y2

2n+1

=1，
知a=2

n

2

，c=

3

•2

n

2

，故en=

3

為常數(shù)，從而

1

4

+log9en=

1

4

+log9

3

=

1

2

，
記cn=

9(n+1)

n2•bn•bn+1

，
則cn=

n+1

n2•2n•2n+1

＜

n+1

(n-1)n•2n•2n+1

=

1

(n-1)•2n

-

1

n•2n+1

(n≥2)，
從而當n≥2時，

n

k=1

9(k+1)

k2•bk•bk+1

＜

1+1

23

+

1

1×22

-

1

2×23

+

1

2×23

-

1

3×24

+…+

1

(n-1)•2n

-

1

n•2n+1

=

1

2

-

1

n•2n+1

＜

1

2

當n=1時，

n

k=1

9(k+1)

k2•bk•bk+1

=

1

4

綜上可知，不等式

n

k=1

9(k+1)

k2•bk•bk+1

＜

1

4

+log9en對一切自然數(shù)n恒成立．

點評：本題考查了由數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項公式，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，訓練了裂項相消法求數(shù)列的和，是壓軸題．