Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=-log 

3

a_n，求數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等比數(shù)列的通項公式，列出方程組，求出首項和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=-log 

3

a_n=-log 

3

1

3n

=2n，得

1

bnbn+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
由各項均為正數(shù)，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆，
得

(a1q2)2=9a1q•a1q5 2a1+3a1q=1 q＞0

，
解得a1=

1

3

，q=

1

3

，
∴an=

1

3n

．
（2）∵an=

1

3n

，∴b_n=-log 

3

a_n=-log 

3

1

3n

=2n，
∴

1

bnbn+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

(1-

1

n+1

)
=

n

4(n+1)

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．