Question

16．已知等比數(shù)列{a_n}的前10項(xiàng)的積為32，則以下說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)；  ②數(shù)列{a_n}中必有小于$\sqrt{2}$的項(xiàng)；
③數(shù)列{a_n}的公比必是正數(shù)；  ④數(shù)列{a_n}中的首項(xiàng)和公比中必有一個(gè)大于1．

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由等比數(shù)列{a_n}的前10項(xiàng)的積為32，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可知${{a}_{5}}^{2}q=2$，然后分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}的前10項(xiàng)的積為32，
∴a₁a₂a₃…a₁₀=${（a}_{5}{a}_{6}）^{5}$=32．
∴a₅a₆=2，
設(shè)公比為q，則${{a}_{5}}^{2}q=2$，故q必是正數(shù)，故③正確．
由${{a}_{5}}^{2}q=2$可知a₅可以為負(fù)數(shù)，故①錯(cuò)誤；
由a₅a₆=2可以得前10項(xiàng)全為$\sqrt{2}$，故②錯(cuò)誤；
由${{a}_{5}}^{2}q=2$可得${{（a}_{1}{q}^{4}）}^{2}q={{a}_{1}}^{2}{q}^{9}=2$，可取q=1、${a}_{1}=-\sqrt{2}$均不大于1，故④錯(cuò)誤．
故正確的命題是③
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與等比數(shù)列有關(guān)的命題的真假判斷，由等比數(shù)列的性質(zhì)得出${{a}_{5}}^{2}q=2$，推出q必是正數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．