Question

【題目】如圖，在底面是正方形的四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是PC中點，G為AC上一點．

（1）求證：BD⊥FG；
（2）確定點G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并說明理由；
（3）當二面角B﹣PC﹣D的大小為 時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，其對角線BD，AC交于點E，

∴PA⊥BD，AC⊥BD，

∴BD⊥平面PAC，

∵FG平面PAC，

∴BD⊥FG

或用向量方法：

解：以A為原點，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），

E（ ），F(xiàn)（ ），G（m，m，0）（0＜m＜ ）

=（﹣1，1，0）， =（ ）， × =﹣m+ +m﹣ +0=0，

∴BD⊥FG

（2）解：當G為EC中點，即AG= AC時，F(xiàn)G∥平面PBD，

理由如下：

連接PE，由F為PC中點，G為EC中點，知FG∥PE，

而FG平面PBD，PE平面PBD，

故FG∥平面PBD．

或用向量方法：

要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，而 =（ ），由 = 可得 ，

解得l=1，m= ，

∴G（ ， ，0），∴ ，

故當AG= AC時，F(xiàn)G∥平面PBD

（3）解：作BH⊥PC于H，連接DH，

∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD就是二面角B﹣PC﹣D的平面角，

即∠BHD= ，

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角

連接EH，則EH⊥BD，∠BHE= ，EH⊥PC，

∴tan∠BHE= ，而BE=EC，

∴ ，∴sin∠PCA= ，∴tan∠PCA= ，

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是

或用向量方法：

設(shè)平面PBC的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ，而 ， ，

∴ ，取z=1，得 =（a，0，1），同理可得平面PDC的一個法向量為 =（0，a，1），

設(shè) ， 所成的角為β，則|cosβ|=|cos |= ，即 = ，∴ ，∴a=1

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，

∴tan∠PCA=

【解析】（1）要證：BD⊥FG，先證BD⊥平面PAC即可．（2）確定點G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，F(xiàn)G∥平面PBD內(nèi)的一條直線即可．（3）當二面角B﹣PC﹣D的大小為 時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．只要作出二面角的平面角，解三角形即可求出結(jié)果．這三個問題可以利用空間直角坐標系，解答（1）求數(shù)量積即可．（2）設(shè)才點的坐標，向量共線即可解答．（3）利用向量數(shù)量積求解法向量，然后轉(zhuǎn)化求出PC與底面ABCD所成角的正切值．
【考點精析】通過靈活運用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和平面與平面之間的位置關(guān)系，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點；兩個平面平行沒有交點；兩個平面相交有一條公共直線即可以解答此題．