【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，并寫(xiě)出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

（3）已知，若函數(shù)對(duì)任意都成立，求的最大值.

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求切線斜率：，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程為，即．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，從導(dǎo)函數(shù)出發(fā)，研究其零點(diǎn)情況：當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增．（3）不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值為0，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，，最后研究函數(shù)最大值

試題解析：解：（1）當(dāng)時(shí)，，，， 2分

∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，

即． 4分

（2）∵，

①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 6分

②當(dāng)時(shí)，由得，

∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． 9分

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴不可能恒成立； 10分

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)； 11分

當(dāng)時(shí)，由函數(shù)對(duì)任意都成立，得，

∵，∴ 13分

∴，

設(shè)，∴ ，

由于，令，得，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減．

∴，即的最大值為，

此時(shí)． 16分

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnax﹣ （a≠0）．
（1）求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；
（2）求證：對(duì)于任意正整數(shù)n，均有1+ + …+ ≥ln （e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在底面是正方形的四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為AC上一點(diǎn)．

（1）求證：BD⊥FG；
（2）確定點(diǎn)G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)二面角B﹣PC﹣D的大小為 時(shí)，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的700個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將700個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)001，002，…，699，700．從中抽取70個(gè)樣本，如圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第5個(gè)樣本編號(hào)是（ ）

A.607
B.328
C.253
D.007

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期是π，若將其圖象向右平移 個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f（x）的圖象（ ）
A.關(guān)于直線x= 對(duì)稱(chēng)
B.關(guān)于直線x= 對(duì)稱(chēng)
C.關(guān)于點(diǎn)（ ，0）對(duì)稱(chēng)
D.關(guān)于點(diǎn)（ ，0）對(duì)稱(chēng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓，點(diǎn)B是其下頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線交橢圓C于另一點(diǎn)A（A點(diǎn)在軸下方），且線段AB的中點(diǎn)E在直線上.

（1）求直線AB的方程；

（2）若點(diǎn)P為橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且直線AP,BP分別交直線于點(diǎn)M、N，證明：OM·ON為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本題滿(mǎn)分16分）數(shù)列， ， 滿(mǎn)足： ， ， ．

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）若數(shù)列， 都是等差數(shù)列，求證：數(shù)列從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列；

（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，試判斷當(dāng)時(shí)，數(shù)列是否成等差數(shù)列？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若定義在[a，b]上的函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+1的值域?yàn)閇﹣3，1]，則b﹣a的最大值是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=mex﹣x﹣1（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），若f（x）=0有兩根x1 ， x2且x1＜x2 ， 則函數(shù)y=（e ﹣e ）（ ﹣m）的值域?yàn)?/span> ．

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