Question

已知A（-1，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足

|MA|

|MB|

=

1

2

，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡C是什么圖形；
（2）求動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)B連線的斜率的最小值；
（3）設(shè)直線l：y=x+m交軌跡C于P，Q兩點(diǎn)，是否存在以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)A？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：解：（1）先將條件化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡C是圖形：軌跡C是以（-2，0）為圓心，2為半徑的圓．
（2）先設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線為y=k（x-2）．利用圓心到直線的距離不大于半徑即可解得k的取值范圍，從而得出動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)B連線的斜率的最小值即可；
（3）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即存在以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)A，再利用PA⊥QA，求出m的長(zhǎng)，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）

(x+1)2+y2

(x-2)2+y2

=

1

2

化簡(jiǎn)可得（x+2）²+y²=4．
軌跡C是以（-2，0）為圓心，2為半徑的圓（3分）
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線為y=k（x-2）．圓心到直線的距離d=

|-4k|

k2+1

≤2
∴-

3

3

≤k≤

3

3

，k_min=-

3

3

（7分）
（3）假設(shè)存在，聯(lián)立方程

y=x+m (x+2)2+y2=4

得2x²+2（m+2）x+m²=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則x₁+x₂=-m-2，x₁x₂=

m2

2

PA⊥QA，∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）+（x₁+m）（x₂+m）=0，
2x₁x₂+（m+1）（x₁+x₂）+m²+1=0得m²-3m-1=0，
m=

3± 13

2

且滿足△＞0．∴m=

3± 13

2

（12分）

點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一   求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系，求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法．本題是利用的直接法．直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．