已知函數(shù)f(x)=lnx+
2a
x
,a∈R

(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若函數(shù)f(x)在[2,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值為3,求實(shí)數(shù)a的值.
(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=lnx+
2
x
,定義域?yàn)椋?,+∞),
f(x)=
1
x
-
2
x2
=
x-2
x2

所以,當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)<0,f(x)為減函數(shù);
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f(x)>0,f(x)為增函數(shù),
所以在(0,+∞)上f(x)有極小值,極小值為f(2)=1+ln2;
(2)由f(x)=lnx+
2a
x
,a∈R
,所以f(x)=
1
x
-
2a
x2
=
x-2a
x2

若函數(shù)f(x)在[2,+∞)上是增函數(shù),則f(x)=
x-2a
x2
≥0
在[2,+∞)恒成立,
即x-2a≥0在[2,+∞)恒成立,也就是a≤
x
2
在[2,+∞)恒成立,
所以a≤1.
所以使函數(shù)f(x)在[2,+∞)上是增函數(shù)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1];
(3)由(2)知,以f(x)=
1
x
-
2a
x2
=
x-2a
x2

若a≤0,則f(x)>0,f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
f(x)在[1,e]上的最小值為f(1)=2a=3,a=
3
2
,不合題意;
若a>0,由f(x)=0,得x=2a.
當(dāng)x∈(0,2a)時(shí),f(x)<0,f(x)為減函數(shù),
當(dāng)x∈(2a,+∞)時(shí),f(x)>0,f(x)為增函數(shù),
所以當(dāng)2a≤1,即a≤
1
2
時(shí),f(x)在[1,e]上為增函數(shù),
最小值為f(1)=2a=3,a=
3
2
,不合題意;
當(dāng)2a≥e,即a≥
e
2
時(shí),f(x)在[1,e]上為減函數(shù),
最小值為f(e)=1+
2a
e
=3,a=e,符合題意;
當(dāng)1<2a<e,即
1
2
<a<
e
2
時(shí),f(x)在[1,e]上的最小值為f(2a)=ln2a+1=3,a=
e2
2
不合題意.
綜上,使函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值為3的實(shí)數(shù)a的值為e.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過(guò)兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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