Question

已知向量

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1）．
（1）當(dāng)

a

∥

b

時，求cos²x-sin2x的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2（

a

+

b

）•

b

，已知在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=

3

，b=2，sinB=

6

3

，求f（x）+4cos（2A+

π

6

） （x∈[0，

π

2

]）的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由

a

∥

b

求出tanx的值，把cos²x-sin2x化為關(guān)于tanx的表達(dá)式，從而求出值來；
（2）利用數(shù)量積求出f（x）的表達(dá)式，△ABC中由正弦定理求出A的大小，由此求出f（x）+4cos（2A+

π

6

）的取值范圍．

解答： 解：（1）∵

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1），且

a

∥

b

；
∴

3

4

cosx+sinx=0，
∴tanx=-

3

4

；
∴cos²x-sin2x=

cos2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

1-2tanx

1+tan2x

=

1-2×(- 3 4 )

1+(- 3 4 )2

=

8

5

； …（6分）
（2）∵f（x）=2（

a

+

b

）•

b

=2（sinx+cosx）•cosx+2×（

3

4

-1）×（-1）
=2sinxcosx+2cos²x+

1

2

=sin2x+cos2x+1+

1

2

=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

；
在△ABC中，由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinA=

3 × 6 3

2

=

2

2

，
∴A=

π

4

，或A=

3π

4

；
又∵b＞a，∴A=

π

4

，
∴f（x）+4cos（2A+

π

6

）=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

+4cos（2×

π

4

+

π

6

）
=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

-4sin

π

6

=

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]；
∴

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴-

3

2

≤

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

≤

2

-

1

2

；
即f（x）+4cos（2A+

π

6

）的取值范圍是[-

3

2

，

2

-

1

2

]．…（12分）

點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積以及正弦定理的應(yīng)用和三角函數(shù)的恒等變換問題，是綜合性題目，屬于中檔題．