Question

7．定義域在R上的奇函數(shù)f（x），滿足F（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x），且在[-$\frac{1}{2}$，0]上是增函數(shù)，給出下列關于的判斷：
①f（x）是周期函數(shù)，且周期為2；
②f（x）關于點（1，0）對稱；
③f（x）在[0，1]上是減函數(shù)；
④f（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上是增函數(shù)；
⑤f（$\frac{7}{6}$）=f（$\frac{11}{6}$）．
其中正確的序號是①②⑤．

Answer 1

分析 由已知的等式可得函數(shù)的對稱軸方程，進一步變形可得函數(shù)的周期和對稱中心，再結(jié)合在[-$\frac{1}{2}$，0]上是增函數(shù)，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性逐一分析五個命題得答案．

解答 解：定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x），且在[-$\frac{1}{2}$，0]上是增函數(shù)．
對于①，由f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x），得f（x+1）=f（-x）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=-f[-f（x）]=f（x），
∴f（x）是周期函數(shù)，且周期為2．故①正確；
對于②，由①知f（x+2）=f（x），∴f（x+1）=f（x-1），由奇函數(shù)得f（x+1）=-f（1-x），
則f（x）關于點（1，0）對稱．故②正確；
對于③，f（x）在[-$\frac{1}{2}$，0]上是增函數(shù)，則在[0，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)．故③錯誤；
對于④，f（x）在[-$\frac{1}{2}$，0]上是增函數(shù)，則在[0，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)，∴f（x）在[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]上為增函數(shù)，
又由f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x）知，f（x）關于直線x=$\frac{1}{2}$對稱，∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上是減函數(shù)．故④錯誤；
對于⑤，f（$\frac{7}{6}$）=f（-$\frac{5}{6}$）=-f（$\frac{5}{6}$），f（$\frac{11}{6}$）=f（-$\frac{1}{6}$）=-f（$\frac{1}{6}$），由f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x）可得$f（\frac{5}{6}）=f（\frac{1}{6}）$．
∴f（$\frac{7}{6}$）=f（$\frac{11}{6}$）．故⑤正確．
∴正確命題的序號是①②⑤．
故答案為：①②⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了與抽象函數(shù)有關的函數(shù)的性質(zhì)，考查靈活變形能力，屬于中高檔題．