Question

2．如圖，已知⊙O′：x²+（y+$\frac{\sqrt{6}}{3}$m）²=4m²（m＞0）及點M（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$m），在⊙O′上任取一點M′，連接MM′，并作MM′的中垂線l，設l與直線O′M′交于點P，若點M′取遍⊙O′上的點．
（1）求點P的軌跡C的方程．
（2）設直線l：y=k（x+1）（k≠0）與軌跡C相交于A，B兩個不同的點，與x軸相交于點D，若$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DB}$，求△OAB的面積取得最大值時軌跡C的方程．

Answer 1

分析 （1）由圓的方程求出圓心坐標和半徑，結合線段的垂直平分線的性質可得：|PM|+|PO′|=|O′M′|=2m$＞\frac{2\sqrt{6}m}{3}$，由此可知點P的軌跡C是以O′，M為焦點的橢圓，并得到a，c的值，結合隱含條件求出b，則橢圓方程可求；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用根與系數的關系及向量相等得到y(tǒng)₁，y₂的關系，可用k來表示，再利用三角形的面積公式，從而得△OAB的面積 S=$\frac{1}{2}$|OD|•|y₂-y₁|，再利用基本不等式的性質，即可得出取得面積最大值時的k的值，進而得到m的值，具體橢圓方程可求．

解答 解：（1）由⊙O′：x²+（y+$\frac{\sqrt{6}}{3}$m）²=4m²（m＞0），可得圓心O′（$-\frac{\sqrt{6}}{3}，0$），半徑為2m，
由題意可知：|PM|+|PO′|=|O′M′|=2m$＞\frac{2\sqrt{6}m}{3}$，
∴點P的軌跡C是以O′，M為焦點的橢圓，且a=m，c=$\frac{\sqrt{6}}{3}m$，
∴$^{2}={a}^{2}-{c}^{2}={m}^{2}-\frac{2}{3}{m}^{2}=\frac{{m}^{2}}{3}$，
則C的方程為$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{3{x}^{2}}{{m}^{2}}=1$；
（2）由y=k（x+1）（k≠0）得x=$\frac{1}{k}$y-1．
并代入橢圓方程3x²+y²=m²，消去x得（3+k²）y²-6ky+3k²-k²m²=0，①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由①，得y₁+y₂=$\frac{6k}{3+{k}^{2}}$，②
∵$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DB}$，而點D（-1，0），
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
得y₁=-2y₂代入②，得y₂=$\frac{-6k}{3+{k}^{2}}$，③
∴△OAB的面積 S=$\frac{1}{2}$|OD|•|y₂-y₁|=$\frac{3}{2}$|y₂|=$\frac{9|k|}{3+{k}^{2}}$≤$\frac{9|k|}{2\sqrt{3}|k|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
當且僅當k²=3，即k=±$\sqrt{3}$時取等號．
把k的值代入③可得y₂=±$\sqrt{3}$，這兩組值分別代入①，均可解出m²=15．
∴△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是3x²+y²=15．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題、基本不等式、橢圓方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．