Question

已知函數(shù)f（x）=（a²-a+1）x^a+2為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+x．
（1）求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)g（x）的零點(diǎn)；
（2）是否存在自然數(shù)n，使g（n）=900？若存在，請(qǐng)求出n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義，和奇函數(shù)的定義先求出a的值，再根據(jù)零點(diǎn)求法，零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為g（x）=0的實(shí)數(shù)根，解方程即可
（2）根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)，然后驗(yàn)證f（9）=738，f（10）=1010，即可得出．

解答： 解：（1）令a²-a+1=1，解得 a=0或a=1．…（1分）
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²，它不是奇函數(shù)，不符合題意；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³，它是奇函數(shù)，符合題意．
所以a=1．  …（3分）
此時(shí)g（x）=x³+x．
令g（x）=0，即 x³+x=0，解得 x=0．
所以函數(shù)g（x）的零點(diǎn)是x=0．…（5分）
（2）設(shè)函數(shù)y=x³，y=x．因?yàn)樗鼈兌际窃龊瘮?shù)，所以g（x）是增函數(shù)．…（7分）
又因?yàn)?nbsp;g（9）=738，g（10）=1010．    …（9分）
由函數(shù)的單調(diào)性，可知不存在自然數(shù)n，使g（n）=900成立． …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的實(shí)數(shù)根的聯(lián)系，以及函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值問(wèn)題．