Question

已知矩陣M=

1 -2 -2 1

，a=

3 1

．
（1）求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（2）求矩陣M的特征值和特征向量；
（3）試計(jì)算M²⁰a；．

Answer 1

考點(diǎn)：特征值與特征向量的計(jì)算

專(zhuān)題：矩陣和變換

分析：本題（1）利用逆矩陣的公式可求出矩陣M的逆矩陣；（2）利用矩陣的特征多項(xiàng)式求出矩陣的特征值，利用對(duì)應(yīng)方程組求出相應(yīng)的特征向量；（3）將向量分解成兩個(gè)特征向量的線性和，再利用特征向量的定義得出矩陣與向量和積，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）|M|=-3，由逆矩陣公式知M-1=

- 1 3 - 2 3 - 2 3 - 1 3

．
（2）矩陣M的特征多次式為f（λ）=

.

λ-1 2 2 λ-1

.

=（λ-1）²-4
令f（λ）=0，得λ₁=3，λ₂=-1，
當(dāng)λ₁=3時(shí)，

2x+2y=0 2x+2y=0

，取x=1，則y=-1，對(duì)應(yīng)的特征向量為

1 -1

；
當(dāng)λ₂=-1，時(shí)，

-2x+2y=0 2x-2y=0

，取x=1，則y=1，對(duì)應(yīng)的特征向量為

1 1

．
∴矩陣M的特征值為λ₁=3，λ₂=-1，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為

1 -1

和

1 1

．
（3）α=

3 1

=

1 -1

+2

1 1

，
∴M²⁰α=320

1 -1

+2(-1)20

1 1

=

320+2 -320+2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是逆矩陣的求法，可以用定義法或公式法，本題還考查了矩陣的特征值和特征向量及其應(yīng)用，有一定的思維難度，計(jì)算量較大，屬于中檔題．