Question

如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓經過點,橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作兩直線與橢圓分別交于相異兩點、.若的平分線與軸平行, 試探究直線的斜率是否為定值？若是, 請給予證明；若不是, 請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）定值.

【解析】

試題分析：（1）待定系數法求橢圓方程.找到兩個關于的方程即可.（2）因為的平分線與軸平行，所以直線MA,MB的斜率互為相反數.假設直線MA聯(lián)立橢圓方程即可得到A點的坐標，因為M點坐標已知.再把k換成-k即可求出B點的坐標.從而求出AB的斜率即可.本題第一小題屬于常規(guī)題型.第二小題要把握以下三方面：首先是MA,MB的斜率是成相反數，假設了一個另一個也知道.其次A,B的坐標也是只要知道一個另一個只要把k換成-k即可.再次求A,B坐標時M點已經知道，用韋達定理很好求出.

試題解析：（1）由，得，故橢圓方程為，

又橢圓過點,則，解之得，

因此橢圓方程為

(2)設直線的斜率為，，由題，直線MA與MB的斜率互為相反數，直線MB的斜率為，聯(lián)立直線MA與橢圓方程： ，

整理得，由韋達定理，，

，整理可得，

又

所以為定值.

考點：1.待定系數求橢圓方程.2.直線與圓的位置關系.3.韋達定理.4.較復雜的運算.