Question

已知點(diǎn)A（-1，1），B（1，1），點(diǎn)P是直線y=x-2上的一點(diǎn)，滿足∠APB最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及∠APB的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩直線的夾角與到角問(wèn)題

專題：直線與圓

分析：設(shè)點(diǎn)P（a，a-2），要使∠APB最大，只要tan∠APB最小，求得tan∠APB=|

KPA-KPB

1+KPA•KPB

|=

1

(3-a)-3+ 4 3-a

，再利用基本不等式求得它的最大值，從而得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)P（a，a-2），要使∠APB最大，只要tan∠APB最大．
∵a=3時(shí)，∠APB=0，∴a＜3，3-a＞0，如圖所示．
∵K_PA=

a-3

a+1

，k_PB=

a-3

a-1

，
tan∠APB=|

KPA-KPB

1+KPA•KPB

|=|

a-3 a+1 - a-3 a-1

1+ a-3 a+1 • a-3 a-1

|=|

(a-3)(a-1)-(a+1)(a-3)

(a+1)(a-1)+(a-3)2

|=|

3-a

a2-3a+4

|=|

3-a

(3-a)2-3(3-a)+4

|
=

1

(3-a)-3+ 4 3-a

≤

1

2 4 -3

=1，當(dāng)且僅當(dāng)3-a=2，即 a=1時(shí)，取等號(hào)．
∴∠APB的最大值為

π

4

，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩條直線的夾角公式，以及基本不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．