【題目】如圖,已知橢圓E: + =1(a>b>0)的左頂點A(﹣2,0),且點(﹣1, )在橢圓上,F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點.過點A作斜率為k(k>0)的直線交橢圓E于另一點B,直線BF2交橢圓E于點C.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)若△CF1F2為等腰三角形,求點B的坐標;
(3)若F1C⊥AB,求k的值.
【答案】
(1)
解:由題意得a=2,將(﹣1, )代入橢圓方程 ,解得:b= ,
∴橢圓E的標準方程:
(2)
解:由△CF1F2為等腰三角形,且k>0,則點C在x軸下方,
1° 若丨F1C丨=丨F2C丨,則C(0,﹣ );
2° 若丨F1F2丨=丨CF2丨,則丨CF2丨=2,C(0,﹣ );
3° 若丨F1C丨=丨F1F2丨,則丨CF1丨=2,C(0,﹣ );
∴C(0,﹣ );
∴直線BC的方程y= (x﹣1),
由 ,得 或 ,
∴B( , )
(3)
解:設(shè)直線AB的方程lAB:y=k(x+2),
由 ,整理得:(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,
∴xAxB=﹣2xB= ,xB= ,
yB=k(xB+2)= ,B( , )
若k= ,則B(1, ),C(1,﹣ ),
由F1(﹣1,0),則 =﹣ ,F(xiàn)1C與AB不垂直;
∴ ,
由F2(1,0), = , =﹣ ,
∴直線BF2的方程 ,直線CF1的方程:
由 ,解得 ,
∴C(8k2﹣1,﹣8k)
又點C在橢圓上得 ,即(24k2﹣1)(8k2+9)=0,即 ,∵k>0,
∴
【解析】(1)將點代入橢圓方程,即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程;(2)分類討論,求得C點坐標,設(shè)直線BC的方程,即可求得點B的坐標;(3)設(shè)直線AB的方程,代入橢圓方程,即可求得B點坐標,分別求得BF2及CF1方程,聯(lián)立,求得C點坐標,代入橢圓方程,即可求得k的值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在2015﹣2016賽季CBA聯(lián)賽中,某隊甲、乙兩名球員在前10場比賽中投籃命中情況統(tǒng)計如下表(注:表中分數(shù) ,N表示投籃次數(shù),n表示命中次數(shù)),假設(shè)各場比賽相互獨立.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
甲 | ||||||||||
乙 |
根據(jù)統(tǒng)計表的信息:
(1)從上述比賽中等可能隨機選擇一場,求甲球員在該場比賽中投籃命中率大于0.5的概率;
(2)試估計甲、乙兩名運動員在下一場比賽中恰有一人命中率超過0.5的概率;
(3)在接下來的3場比賽中,用X表示這3場比賽中乙球員命中率超過0.5的場次,試寫出X的分布列,并求X的數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限 (年)與所支出的維修費用 (萬元)有如下統(tǒng)計資料:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
已知, .
,
(1)求, ;
(2) 與具有線性相關(guān)關(guān)系,求出線性回歸方程;
(3)估計使用年限為10年時,維修費用約是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】德國數(shù)學家科拉茨1937年提出一個著名的猜想:任給一個正整數(shù) ,如果 是偶數(shù),就將它減半(即 );如果 是奇數(shù),則將它乘3加1(即 ),不斷重復這樣的運算,經(jīng)過有限步后,一定可以得到1.對于科拉茨猜想,目前誰也不能證明。也不能否定,現(xiàn)在請你研究:如果對正整數(shù) (首項)按照上述規(guī)則旅行變換后的第9項為1(注:1可以多次出現(xiàn)),則 的所有不同值的個數(shù)為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l:x-2y+2m-2=0.
(1)求過點(2,3)且與直線l垂直的直線的方程;
(2)若直線l與兩坐標軸所圍成的三角形的面積大于4,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)由直線的斜率為,可得所求直線的斜率為,代入點斜式方程,可得答案;(2)直線與兩坐標軸的交點分別為,則所圍成的三角形的面積為,根據(jù)直線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為大于,構(gòu)造不等式,解得答案.
試題解析:(1)與直線l垂直的直線的斜率為-2,
因為點(2,3)在該直線上,所以所求直線方程為y-3=-2(x-2),
故所求的直線方程為2x+y-7=0.
(2) 直線l與兩坐標軸的交點分別為(-2m+2,0),(0,m-1),
則所圍成的三角形的面積為×|-2m+2|×|m-1|.
由題意可知×|-2m+2|×|m-1|>4,化簡得(m-1)2>4,
解得m>3或m<-1,
所以實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1)∪(3,+∞).
【方法點睛】本題主要考查直線的方程,兩條直線平行與斜率的關(guān)系,屬于簡單題. 對直線位置關(guān)系的考查是熱點命題方向之一,這類問題以簡單題為主,主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關(guān)系:在斜率存在的前提下,(1) ;(2),這類問題盡管簡單卻容易出錯,特別是容易遺忘斜率不存在的情況,這一點一定不能掉以輕心.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】在平面直角坐標系中,已知經(jīng)過原點O的直線與圓交于兩點。
(1)若直線與圓相切,切點為B,求直線的方程;
(2)若,求直線的方程;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為響應市政府“綠色出行”的號召,王老師每個工作日上下班由自駕車改為選擇乘坐地鐵或騎共享單車這兩種方式中的一種出行.根據(jù)王老師從2017年3月到2017年5月的出行情況統(tǒng)計可知,王老師每次出行乘坐地鐵的概率是0.4,騎共享單車的概率是0.6.乘坐地鐵單程所需的費用是3元,騎共享單車單程所需的費用是1元.記王老師在一個工作日內(nèi)上下班所花費的總交通費用為X元,假設(shè)王老師上下班選擇出行方式是相互獨立的.
(I)求X的分布列和數(shù)學期望 ;
(II)已知王老師在2017年6月的所有工作日(按22個工作日計)中共花費交通費用110元,請判斷王老師6月份的出行規(guī)律是否發(fā)生明顯變化,并依據(jù)以下原則說明理由.
原則:設(shè) 表示王老師某月每個工作日出行的平均費用,若 ,則有95%的把握認為王老師該月的出行規(guī)律與前幾個月的出行規(guī)律相比有明顯變化.(注: )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的最小值為3,且.
求函數(shù)的解析式;
(2)若偶函數(shù)(其中),那么, 在區(qū)間上是否存在零點?請說明理由.
【答案】(1)(2)存在零點
【解析】試題分析:(1)待定系數(shù)法,己知函數(shù)類型為二次函數(shù),又知f(-1)=f(3),所以對稱軸是x=1,且函數(shù)最小值f(1)=3,所設(shè)函數(shù),且,代入f(-1)=11,可解a。
(2)由題意可得,代入,由和根的存在性定理, 在區(qū)間(1,2)上存在零點。
試題解析:(1)因為是二次函數(shù),且
所以二次函數(shù)圖像的對稱軸為.
又的最小值為3,所以可設(shè),且
由,得
所以
(2)由(1)可得,
因為,
所以在區(qū)間(1,2)上存在零點.
【點睛】
(1)對于求己知類型函數(shù)的的解析式,常用待定系數(shù)法,由于二次函數(shù)的表達式形式比較多,有一般式,兩點式,頂點式,由本題所給條件知道對稱軸與頂點坐標,所以設(shè)頂點式。
(2)對于判定函數(shù)在否存在零點問題,一般解決此類問題的三步曲是:①先通過觀察函數(shù)圖象再估算出根所在的區(qū)間;②根據(jù)方程根的存在性定理證明根是存在的;③最后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)證明根是唯一的.本題給了區(qū)間,可直接用根的存在性定理。
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】《中華人民共和國個人所得稅》規(guī)定,公民月工資、薪金所得不超過3500元的部分不納稅,超過3500元的部分為全月稅所得額,此項稅款按下表分段累計計算:
全月應納稅所得額 | 稅率 |
不超過1500元的部分 | |
超過1500元至4500元的部分 | |
超過4500元至9000元的部分 |
(1)已知張先生的月工資,薪金所得為10000元,問他當月應繳納多少個人所得稅?
(2)設(shè)王先生的月工資,薪金所得為,當月應繳納個人所得稅為元,寫出與的函數(shù)關(guān)系式;
(3)已知王先生一月份應繳納個人所得稅為303元,那么他當月的工資、薪金所得為多少?
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