Question

7．給定平面內(nèi)三個(gè)向量$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow$=（-1，2），$\overrightarrow{c}$=（4，1）
（1）若（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）∥（2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$），求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）⊥（2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$），求實(shí)數(shù)k的值；
（3）設(shè)$\overrightarrow9l9ntr9$=（x，y），滿足（$\overrightarrowlnvnjbt$-$\overrightarrow{c}$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），且|$\overrightarrowbbhxlnf$-$\overrightarrow{c}$|=1，求$\overrightarrowln9lb9f$的坐標(biāo)；
（4）求|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|的最小值及相應(yīng)的t的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線定理即可得出；
（2）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出；
（3）利用向量共線定理與模的計(jì)算公式即可得出；
（4）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$=（3-k，2+2k），2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$=（-5，2），
∵（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）∥（2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$），∴2（3-k）+5（2+2k）=0，解得k=-2
∴實(shí)數(shù)k=-2；
（2）∵（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）⊥（2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$），
∴-5（3-k）+2（2+2k）=0，
解得k=$\frac{11}{9}$．
∴實(shí)數(shù)k=$\frac{11}{9}$；
（3）設(shè)$\overrightarrowvtdrdtr$=（x，y），$\overrightarrowr5jpdvl-\overrightarrow{c}$=（x-4，y-1），
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=（2，4），
∵（$\overrightarrowzbjvfdx$-$\overrightarrow{c}$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），且|$\overrightarrowxbjz9h9$-$\overrightarrow{c}$|=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4（x-4）-2（y-1）=0}\\{\sqrt{（x-4）^{2}+（y-1）^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{y=1+\frac{2\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{y=1-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{x=4-\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow93b3z99$=$（4+\frac{\sqrt{5}}{5}，1+\frac{2\sqrt{5}}{5}）$或$（4-\frac{\sqrt{5}}{5}，1-\frac{2\sqrt{5}}{5}）$；
（4）$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow$=（3-t，2+2t）．
|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|=$\sqrt{（3-t）^{2}+（2+2t）^{2}}$=$\sqrt{5（t+\frac{1}{5}）^{2}+\frac{64}{5}}$$≥\frac{8\sqrt{5}}{5}$．當(dāng)t=-$\frac{1}{5}$時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)t=-$\frac{1}{5}$時(shí)，|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|取得最小值$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．