橢圓C: +=1(a>b>0)的離心率e=,a+b=3.

(1)求橢圓C的方程;

(2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明2m-k為定值.

 

【答案】

(1) +y2=1 (2)見解析

【解析】

(1)解:因為e==,

所以a=c,b=c.

代入a+b=3,

得c=,a=2,b=1.

故橢圓C的方程為+y2=1.

(2)證明:因為B(2,0),P不為橢圓頂點,

則直線BP的方程為y=k(x-2)（k≠0,k≠±）, ①

把①代入+y2=1,

解得P.

直線AD的方程為y=x+1.②

①與②聯(lián)立解得M.

由D(0,1),P，N(x,0)三點共線知

=,

解得N.

所以MN的斜率為m=

=

=,

則2m-k=-k=(定值).

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓C 1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左準線為l，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，拋物線C2的準線為l，焦點為F2，曲線C1，C2的一個交點為P，則
|F1F2|
|PF1|
-
|PF1|
|PF2|
等于（　　）
A、-1
B、1
C、-
1
2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C 1：
x2
a2
+
y2
b2
=λ1（a＞b＞0，λ1＞0）和雙曲線C 2：
x2
m2
-
y2
n2
=λ2(λ2≠0)，給出下列命題：
①對于任意的正實數(shù)λ1，曲線C1都有相同的焦點；
②對于任意的正實數(shù)λ1，曲線C1都有相同的離心率；
③對于任意的非零實數(shù)λ2，曲線C2都有相同的漸近線；
④對于任意的非零實數(shù)λ2，曲線C2都有相同的離心率．
其中正確的為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C:+=1(a>b>0),點P在橢圓上,其左、右焦點為F1,F2.

(1)求橢圓C的離心率.

(2)若·=,過點S的動直線l交橢圓于A,B兩點,請問在y軸上是否存在定點M,使以AB為直徑的圓恒過這個定點?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練22練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0),左、右兩個焦點分別為F1,F2,上頂點A(0,b),△AF1F2為正三角形且周長為6.

(1)求橢圓C的標準方程及離心率;

(2)O為坐標原點,P是直線F1A上的一個動點,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此時點P的坐標.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練22練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切,過點P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點.

(1)求橢圓C的方程;

(2)求·的取值范圍;

(3)若B點關(guān)于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.

 

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