Question

14．在三棱錐P-ABC中，AC=BC=AP=BP=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{3}$，AB=2．
（1）求證：PC⊥AB；
（2）求二面角A-PB-C的余弦值的絕對值．

Answer 1

分析 （1）設D為AB中點，連接DC，DP，利用勾股定理的逆定理可得：CD⊥AB，利用等腰三角形的性質可得：PD⊥AB，利用線面垂直的判定定理可得：AB⊥平面PCD．
即可證明PC⊥AB．
（2）如圖，建立空間直角坐標系O-xyz．其中AB∥x軸，易得∠PDC=120°，∠PDO=60°，可得PO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OD=$\frac{1}{2}$．設平面PBA的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．同理可求得平面CBP的一個法向量$\overrightarrow{m}$，利用$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （1）證明：設D為AB中點，連接DC，DP，
∵AC=BC=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴CD⊥AB，DC=1．
∵PA=PB，AD=DB，
∴PD⊥AB，
又CD∩PD=D，
∴AB⊥平面PCD．
∴PC⊥AB．
（2）解：如圖，建立空間直角坐標系O-xyz．其中AB∥x軸，
易得∠PDC=120°，∠PDO=60°，
又PD=DC=1，
∴PO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OD=$\frac{1}{2}$．
則$B（1，\frac{1}{2}，0）$，A$（-1，\frac{1}{2}，0）$，C$（0，\frac{3}{2}，0）$，P$（0，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AP}$=$（1，-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
設平面PBA的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{x-\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
∴平面PBA的一個法向量$\overrightarrow{n}$=$（0，\sqrt{3}，1）$．
∵$\overrightarrow{CB}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{CP}$=$（0，-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
同理可求得平面CBP的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=$（1，1，\sqrt{3}）$，
∴$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質定理、向量與數(shù)量積的關系、法向量與空間角的求法、等腰三角形的性質、勾股定理的逆定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．