Question

19．如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正△A′BC，頂點(diǎn)A′在平面α內(nèi)，頂點(diǎn)B，C在平面α外的同一側(cè)，點(diǎn)B′，C′分別為B，C在平面α上的投影，設(shè)|BB′|≤|CC′|，直線CB′與平面A′CC′所成的角為φ．若△A′B′C′是以∠A′為直角的直角三角形，則tanφ的范圍為$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．

Answer 1

分析 由題意找出線面角，設(shè)BB′=a，CC′=b，可得ab=2，然后由a的變化得到A′B′的變化范圍，從而求得tanφ的范圍．

解答 解：如圖，
由CC′⊥α，A′B′?α，得A′B′⊥CC′，
又A′B′⊥A′C′，且A′C′∩CC′=C′，
∴A′B′⊥面A′C′C，則φ=∠B′CA′，
設(shè)BB′=a，CC′=b，則A′B′²=4-a²，A′C′²=4-b²，
設(shè)B′C′=c，
則有$\left\{\begin{array}{l}{4-{a}^{2}+4-^{2}={c}^{2}}\\{（\frac{c}{2}）^{2}+（\frac{a+b}{2}）^{2}=3}\end{array}\right.$，整理得：ab=2．
∵|BB′|≤|CC′|，∴a≤b，
tanφ=$\frac{A′B′}{2}$，
在三角形BB′A′中，∵斜邊A′B為定值2，
∴當(dāng)a最大為$\sqrt{2}$時(shí)，A′B′取最小值$\sqrt{2}$，tanφ的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
當(dāng)a減小時(shí)，tanφ增大，
若a≤1，則b≥2，在Rt△A′CC′中出現(xiàn)直角邊大于等于斜邊，矛盾，
∴a＞1，此時(shí)A′B′＜$\sqrt{3}$，即tanφ$＜\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴tanφ的范圍為$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
故答案為：$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面所成的角，考查了空間想象能力和思維能力，靈活性強(qiáng)，屬有一定難度題目．