Question

18．觀察等式：
sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=a
sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=a
sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=a
sin²25°+cos²55°+sin25°cos55°=a
（1）請(qǐng)根據(jù)以上等式規(guī)律，用特殊值求出a的值；
（2）歸納出一般的結(jié)論并證明．

Answer 1

分析 （1）觀察所給的等式，sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°計(jì)算可得$\frac{3}{4}$；
（2）一般結(jié)論應(yīng)該是sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α）=$\frac{3}{4}$，運(yùn)用二倍角公式和兩角和差的正弦和余弦公式，化簡(jiǎn)整理即可得到．

解答 解：（1）由已知中的等式：
sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$．
則a=$\frac{3}{4}$；
（2）歸納可得：sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α）=$\frac{3}{4}$，
理由如下：
左邊=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+cos（60°+2α）}{2}$+sinα（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα）
=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+\frac{1}{2}cos2α-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2α}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α-$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cos2α}{2}$=$\frac{3}{4}$=右邊．
則sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α）=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查類(lèi)比推理，考查對(duì)于所給的式子的理解，從所給式子出發(fā)，通過(guò)觀察、類(lèi)比、猜想出一般規(guī)律，再證明結(jié)論，該題著重考查了類(lèi)比的能力．