Question

若對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)k，函數(shù)f（x）=

k

x

的圖象上總存在點(diǎn)C，使得以C為圓心，1為半徑的圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為2，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓方程的綜合應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：根據(jù)題意得：以C為圓心，1為半徑的圓與原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即C到原點(diǎn)距離小于3，即f（x）的圖象上離原點(diǎn)最近的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于3，設(shè)出C坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出C到原點(diǎn)的距離，利用基本不等式求出距離的最小值，讓最小值小于3列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍．

解答： 解：根據(jù)題意得：|OC|＜1+2=3，
設(shè)C（x，

k

x

），
∵|OC|=

x2+ k2 x2

≥

2k

，
∴

2k

＜3，即0＜k＜

9

2

，
則k的范圍為（0，

9

2

）．
故答案為：（0，

9

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓與圓位置關(guān)系的判定，基本不等式的運(yùn)用，以及兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出以C為圓心，1為半徑的圓與原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即C到原點(diǎn)距離小于3．