Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），則f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]時的值域是[-1，$\sqrt{2}$]；又若將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個單位長度得到的圖象恰好關(guān)于點（$\frac{π}{4}$，0）對稱，則實數(shù)a的最小值為$\frac{π}{8}$．

Answer 1

分析 由x∈[0，$\frac{π}{2}$]可解得$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]時的值域；
由題意可得：f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），平移a個單位長度后得到函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+2a+$\frac{π}{4}$），根據(jù)對稱性可得2×$\frac{π}{4}$+2a+$\frac{π}{4}$=kπ（k∈Z），即可得到a=-$\frac{3π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，（k∈Z）進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得，sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，則$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
∴f（x）的值域是[-1，$\sqrt{2}$]．
將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個單位長度得到函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2（x+a）+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+2a+$\frac{π}{4}$）的圖象，
∵函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin（2x+2a+$\frac{π}{4}$）關(guān)于點（$\frac{π}{4}$，0）對稱，
所以2×$\frac{π}{4}$+2a+$\frac{π}{4}$=kπ（k∈Z），即a=-$\frac{3π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，（k∈Z）
因為a＞0，所以k＞$\frac{3}{4}$
所以當(dāng)k=1時，a有最小值$\frac{π}{8}$．
故答案為：[-1，$\sqrt{2}$]，$\frac{π}{8}$

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，即對稱性、單調(diào)性以及三角函數(shù)圖象的平移變換，屬于中檔題．