Question

20．△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的所對(duì)邊的長，若acosB=1，bsinA=$\sqrt{2}$，且A-B=$\frac{π}{4}$．
（1）求a的值；
（2）求tanA的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可知bsinA=asinB，進(jìn)而利用acosB=1，相加即可求得a．
（2）根據(jù)第一問先求得tanB的值，進(jìn)而求得A和B的關(guān)系，利用正切的兩角和公式求得答案．

解答 解：（1）由正弦定理知，bsinA=asinB=$\sqrt{2}$，①，
又acosB=1，②
①，②兩式平方相加，得（asinB）²+（acosB）²=3，
因?yàn)閟in²B+cos²B=1，
所以a=$\sqrt{3}$（負(fù)值已舍）；
（2）①，②兩式相除，得$\frac{sinB}{cosB}$=$\sqrt{2}$，即tanB=$\sqrt{2}$，
因?yàn)锳-B=$\frac{π}{4}$，
∴A=B+$\frac{π}{4}$，
∴tanA=tan（B+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanB+tanA}{1-tanBtanA}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$=--3-2$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．解題過程中邊角問題是解決三角形問題的關(guān)鍵．