Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為菱形且∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，E為PC的中點(diǎn)．
（1）求直線DE與平面PAC所成角的大��；
（2）求C點(diǎn)到平面PBD的距離．

Answer 1

解：（1）如圖，連AC，BD交于點(diǎn)O，又由底面ABCD為菱形可得BD⊥AC，且點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，連接OE，又E為PC的中點(diǎn)，所以EO∥PA．
由PA⊥底面ABCD，可得EO⊥底面ABCD
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則有O（0，0，0），A（），B（0，1，0），C（），D（0，-1，0），P（），E（0，0，）
依題意得即為平面PAC的一個(gè)法向量
又，所以
所以直線DE與平面PAC所成角的大小為30°
（2）由（1）知，
設(shè)為平面PBD的一個(gè)法向量
由與得
令x=1，取∴C點(diǎn)到平面PBD的距離為d，
則．
分析：（1）連AC，BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出平面PAC的一個(gè)法向量，進(jìn)而利用向量的夾角公式，可求直線DE與平面PAC所成角的大小．
（2）由（1）知，，求出平面PBD的一個(gè)法向量
進(jìn)而利用可求．
點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為載體，考查線面角，考查點(diǎn)面距離，關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系．