Question

17．若函數(shù)f（x）=（log_ax）²-2log_ax（a＞0且a≠1）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，1）∪（1，2]
• B． （0，1）∪（2，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 利用換元法，分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：設(shè)log_ax=t，則f（x）=g（t）=t²-2t，對(duì)稱軸為t=1，
當(dāng)a＞1時(shí)，t=log_ax遞增，故g（t）=t²-2t在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上遞減，
由x∈[$\frac{1}{2}$，2]，故t=log_ax∈[log_a$\frac{1}{2}$，log_a2]，故log_a2≤1=log_aa，故a≥2；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，t=log_ax遞減，故g（t）=t²-2t在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上遞增，
由x∈[$\frac{1}{2}$，2]，故t=log_ax∈[log_a2，log_a$\frac{1}{2}$]，故log_a2≥1=log_aa，故a≥2，不合
綜上得，a≥2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查換元法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．