Question

已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓

x2

36

+

y2

9

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F₁的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|F₂A|+|F₂B|=16，則|AB|=

 

．

Answer 1

分析：由橢圓的方程算出a=6、b=3、c=3

3

，根據(jù)A、B兩點(diǎn)在橢圓上，利用橢圓的定義得到|F₁A|+|F₂A|=|F₁B|+|F₂B|=2a=12，從而得到△ABF₂的周長為24，再由|F₂A|+|F₂B|=16加以計(jì)算，可得|AB|的值．

解答：解：∵橢圓

x2

36

+

y2

9

=1中，a²=36且b²=9，
∴a=6且b=3，可得c=

a2-b2

=3

3

．
又∵A、B兩點(diǎn)在橢圓上，
∴根據(jù)橢圓的定義，得|F₁A|+|F₂A|=|F₁B|+|F₂B|=2a=12，
相加可得|F₁A|+|F₂A|+|F₁B|+|F₂B|=24，
∵|F₂A|+|F₂B|=16，∴|F₁A|+|F₁B|=24-16=8．
又∵過F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，即A、B、F₁三點(diǎn)共線，
∴|AB|=|F₁A|+|F₁B|=8．
故答案為：8

點(diǎn)評：本題給出橢圓經(jīng)過左焦點(diǎn)的弦AB與右焦點(diǎn)F₂構(gòu)成的三角形，在已知|F₂A|+|F₂B|=16的情況下求|AB|的值．著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識，屬于基礎(chǔ)題．