【題目】如圖,在三棱柱中,平面,,的中點(diǎn)為.

(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)求二面角的余弦值;

(Ⅲ)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ);(Ⅲ)在棱上存在點(diǎn),使得平面,且.

【解析】

(Ⅰ)可證明平面,從而得到.

(Ⅱ)利用,兩兩互相垂直建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量平面的法向量后可求二面角的余弦值.

(Ⅲ)設(shè),則可用表示,利用與平面的法向量垂直可求,從而得到的值.

證明:(Ⅰ)因?yàn)?/span>平面,平面,所以.

因?yàn)?/span>,所以.

又因?yàn)?/span>

所以平面.

因?yàn)?/span>平面,所以.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,兩兩互相垂直,

如圖,建立空間直角坐標(biāo)系

因?yàn)?/span>,

所以,,.

因?yàn)?/span>平面,

所以即為平面的一個(gè)法向量.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

,

,則.

于是.

所以.

由題知二面角為銳角,所以其余弦值為.

(Ⅲ)假設(shè)棱上存在點(diǎn),使得平面.

.

因?yàn)?/span>,的中點(diǎn),所以.

所以.

平面,則,解得.

又因?yàn)?/span>平面.

所以在棱上存在點(diǎn),使得平面,且.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)在曲線上任取一點(diǎn),連接,在射線上取點(diǎn),使,點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程;

2)在曲線上任取一點(diǎn),在曲線上任取一點(diǎn),的最小值.

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【題目】東莞的輕軌給市民出行帶來(lái)了很大的方便,越來(lái)越多的市民選擇乘坐輕軌出行,很多市民都會(huì)開(kāi)汽車(chē)到離家最近的輕軌站,將車(chē)停放在輕軌站停車(chē)場(chǎng),然后進(jìn)站乘輕軌出行,這給輕軌站停車(chē)場(chǎng)帶來(lái)很大的壓力.某輕軌站停車(chē)場(chǎng)為了解決這個(gè)問(wèn)題,決定對(duì)機(jī)動(dòng)車(chē)停車(chē)施行收費(fèi)制度,收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:4小時(shí)內(nèi)(含4小時(shí))每輛每次收費(fèi)5元;超過(guò)4小時(shí)不超過(guò)6小時(shí),每增加一小時(shí)收費(fèi)增加3元;超過(guò)6小時(shí)不超過(guò)8小時(shí),每增加一小時(shí)收費(fèi)增加4元,超過(guò)8小時(shí)至24小時(shí)內(nèi)(含24小時(shí))收費(fèi)30元;超過(guò)24小時(shí),按前述標(biāo)準(zhǔn)重新計(jì)費(fèi).上述標(biāo)準(zhǔn)不足一小時(shí)的按一小時(shí)計(jì)費(fèi).為了調(diào)查該停車(chē)場(chǎng)一天的收費(fèi)情況,現(xiàn)統(tǒng)計(jì)1000輛車(chē)的停留時(shí)間(假設(shè)每輛車(chē)一天內(nèi)在該停車(chē)場(chǎng)僅停車(chē)一次),得到下面的頻數(shù)分布表:

(小時(shí))

頻數(shù)(車(chē)次)

100

100

200

200

350

50

以車(chē)輛在停車(chē)場(chǎng)停留時(shí)間位于各區(qū)間的頻率代替車(chē)輛在停車(chē)場(chǎng)停留時(shí)間位于各區(qū)間的概率.

1)現(xiàn)在用分層抽樣的方法從上面1000輛車(chē)中抽取了100輛車(chē)進(jìn)行進(jìn)一步深入調(diào)研,記錄并統(tǒng)計(jì)了停車(chē)時(shí)長(zhǎng)與司機(jī)性別的列聯(lián)表:

合計(jì)

不超過(guò)6小時(shí)

30

6小時(shí)以上

20

合計(jì)

100

完成上述列聯(lián)表,并判斷能否有90%的把握認(rèn)為“停車(chē)是否超過(guò)6小時(shí)”與性別有關(guān)?

2)(i表示某輛車(chē)一天之內(nèi)(含一天)在該停車(chē)場(chǎng)停車(chē)一次所交費(fèi)用,求的概率分布列及期望

ii)現(xiàn)隨機(jī)抽取該停車(chē)場(chǎng)內(nèi)停放的3輛車(chē),表示3輛車(chē)中停車(chē)費(fèi)用大于的車(chē)輛數(shù),求的概率.

參考公式:,其中

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.780

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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2)求直線與平面所成角的余弦值.

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1)寫(xiě)出曲線的極坐標(biāo)方程,并求出曲線公共弦所在直線的極坐標(biāo)方程;

2)若射線與曲線交于兩點(diǎn),與曲線交于點(diǎn),且,求的值.

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A. B. C. D.

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【題目】已知甲、乙兩地生產(chǎn)同一種瓷器,現(xiàn)從兩地的瓷器中隨機(jī)抽取了一共300件統(tǒng)計(jì)質(zhì)量指標(biāo)值,得到如圖的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖,其中甲地瓷器的質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間的頻數(shù)相等.

甲地瓷器質(zhì)量頻率分布直方圖 乙地瓷器質(zhì)量扇形統(tǒng)計(jì)圖

1)求直方圖中的值,并估計(jì)甲地瓷器質(zhì)量指標(biāo)值的平均值;(同一組中的數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

2)規(guī)定該種瓷器的質(zhì)量指標(biāo)值不低于125為特等品,且已知樣本中甲地的特等品比乙地的特等品多10個(gè),結(jié)合乙地瓷器質(zhì)量扇形統(tǒng)計(jì)圖完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩地的瓷器質(zhì)量有差異?

物等品

非特等品

合計(jì)

甲地

乙地

合計(jì)

附:,其中.

0.10

0.05

0.025

0.01

2.706

3.841

5.024

6.635

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同步練習(xí)冊(cè)答案