【題目】在直三棱柱中，，，．

（1）求異面直線與所成角的正切值；

（2）求直線與平面所成角的余弦值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系.

（1）利用空間向量法求出與所成角的余弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關系可得出答案；

（2）利用空間向量法求出直線與平面所成角的正弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關系可得出答案.

在直三棱柱中，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：

則點、、、、、.

（1）設異面直線與所成角為，，，

，即，，

則，因此，異面直線與所成角的正切值為；

（2）設直線與平面所成角為，設平面的一個法向量為，

，，，

由，得，取，得，

所以，平面的一個法向量為，

，，則.

因此，直線與平面所成角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）證明：當時，；

（2）若時不等式成立，求的取值范圍.

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【題目】已知，，其中實數(shù).

(1)求的最大值；

(2)若對于任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】某市一中學高三年級統(tǒng)計學生的最近20次數(shù)學周測成績（滿分150分），現(xiàn)有甲乙兩位同學的20次成績?nèi)缜o葉圖所示：

（1）根據(jù)莖葉圖求甲乙兩位同學成績的中位數(shù)，并據(jù)此判斷甲乙兩位同學的成績誰更好？

（2）將同學乙的成績的頻率分布直方圖補充完整；

（3）現(xiàn)從甲乙兩位同學的不低于140分的成績中任意選出2個成績，設選出的2個成績中含甲的成績的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

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【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，，的中點為.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線（為參數(shù)），將曲線上的所有點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的后得到曲線；以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）求曲線和直線的直角坐標方程；

（2）已知，設直線與曲線交于不同的、兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】黃岡“一票通”景區(qū)旅游年卡，是由黃岡市旅游局策劃，黃岡市大別山旅游公司推出的一項惠民工程，持有旅游年卡一年內(nèi)可不限次暢游全市19家簽約景區(qū)．為了解市民每年旅游消費支出情況單位：百元，相關部門對已游覽某簽約景區(qū)的游客進行隨機問卷調(diào)查，并把得到的數(shù)據(jù)列成如表所示的頻數(shù)分布表：

組別

頻數(shù)

10

390

400

188

12

求所得樣本的中位數(shù)精確到百元；

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認為市民的旅游費用支出服從正態(tài)分布，若該市總人口為750萬人，試估計有多少市民每年旅游費用支出在7500元以上；

若年旅游消費支出在百元以上的游客一年內(nèi)會繼續(xù)來該景點游玩現(xiàn)從游客中隨機抽取3人，一年內(nèi)繼續(xù)來該景點游玩記2分，不來該景點游玩記1分，將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，且游客之間的選擇意愿相互獨立，記總得分為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學期望．

參考數(shù)據(jù)：，；

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【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量（=1,2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.








46.6

56.3

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中，=

（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給判斷即可，不必說明理由）

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；

（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結果回答下列問題：

（ⅰ）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

（ⅱ）年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù),，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，⊥，⊥，，為的中點，且⊥.

(1)求證：⊥平面；(2)求三棱錐的體積.

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