Question

已知k∈R，若過定點A的直線x+ky=0與過定點B的直線kx-y-3k+1=0交于點P，則|

PA

|•|

PB

|的最大值為

 

．

Answer 1

考點：過兩條直線交點的直線系方程,平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,直線與圓

分析：先計算出兩條動直線經(jīng)過的定點，即A和B，注意到兩條動直線相互垂直的特點，則有PA⊥PB；再利用基本不等式放縮即可得出|

PA

|•|

PB

|的最大值．

解答： 解：由題意可知，動直線x+ky=0經(jīng)過定點A（0，0），
動直線kx-y-3k+1=0即k（x-3）-y+1=0，經(jīng)過點定點B（3，1），
注意到動直線x+ky=0和動直線kx-y-3k+1=0始終垂直，P又是兩條直線的交點，
則有PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．
故|

PA

|•|

PB

|≤

PA|2+|PB|2

2

=5（當且僅當|PA|=|PB|=

5

時取“=”）
故答案為：5．

點評：本題是直線和不等式的綜合考查，特別是“兩條直線相互垂直”這一特征是本題解答的突破口，從而有|PA|²+|PB|²是個定值，再由基本不等式求解得出．直線位置關(guān)系和不等式相結(jié)合，不容易想到，是個靈活的好題．