Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，證明：

（i）；

（ii）證明：．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，再令進(jìn)行二次求導(dǎo).討論的取值范圍，求出和的解集，也即求出的單調(diào)區(qū)間；

（2）（i）將代入，得，利用作差法構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出其最大值為0，則原不等式得證；

（ii）由（i）知，即 由此得，則，即，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和，即可證明該不等式.

解：（1）,

令，

①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，若，，單調(diào)遞增，

若，，單調(diào)遞減；

③當(dāng)時，若，，單調(diào)遞減，

若，，單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在上調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）（i）當(dāng)時，，所以，

令，則，

若，，單調(diào)遞增；

若，，單調(diào)遞減．

，

即，即．

（ii）當(dāng)時，，．

由（i）知，即，

令得，即，

所以

，

．