Question

【題目】已知向量 ，其中．函數(shù)的圖象過點，點與其相鄰的最高點的距離為4．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）計算的值；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間 [0，3] 上的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）由數(shù)量積的坐標運算可得f（x），由題意求得ω，再由函數(shù)f（x）的圖象過點B（1，2）列式求得．則函數(shù)解析式可求，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝1+sin，可得f（x）是周期為4的周期函數(shù)，且f（1）＝2，f（2）＝1，f（3）＝0，f（4）＝1．得到f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4．

進一步可得結(jié)論；

（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣1，函數(shù)g（x）在[0，3]上的零點個數(shù)，即為函數(shù)y＝sin的圖象與直線y＝m在[0，3]上的交點個數(shù)．數(shù)形結(jié)合得答案．

（Ⅰ）∵（，cos2（ωx+φ）），（，），

∴f（x）cos2（ωx+）＝1﹣cos2（ωx+）），

∴f（x）max＝2，則點B（1，2）為函數(shù)f（x）的圖象的一個最高點．

∵點B與其相鄰的最高點的距離為4，∴，得ω．

∵函數(shù)f（x）的圖象過點B（1，2），∴，即sin2φ＝1．

∵0＜，∴．

∴f（x）＝1﹣cos2（）＝1+sin，

由，得，．

的單調(diào)遞減區(qū)間是，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝1+sin，

∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)，且f（1）＝2，f（2）＝1，f（3）＝0，f（4）＝1．

∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4．

而2017＝4×504+1，

∴f（1）+f（2）+…+f（2017）＝4×504+2＝2018；

（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣1，函數(shù)g（x）在[0，3]上的零點個數(shù)，

即為函數(shù)y＝sin的圖象與直線y＝m在[0，3]上的交點個數(shù)．

在同一直角坐標系內(nèi)作出兩個函數(shù)的圖象如圖：

①當m＞1或m＜﹣1時，兩函數(shù)的圖象在[0，3]內(nèi)無公共點；

②當﹣1≤m＜0或m＝1時，兩函數(shù)的圖象在[0，3]內(nèi)有一個共點；

③當0≤m＜1時，兩函數(shù)的圖象在[0，3]內(nèi)有兩個共點．

綜上，當m＞1或m＜﹣1時，函數(shù)g（x）在[0，3]上無零點；

②當﹣1≤m＜0或m＝1時，函數(shù)g（x）在[0，3]內(nèi)有1個零點；

③當0≤m＜1時，函數(shù)g（x）在[0，3]內(nèi)有2個零點．