Question

在數(shù)列{a_n}中，若存在非零整數(shù)T，使得a_m+T=a_m對于任意的m∈N^*均成立，那么稱數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，其中T叫數(shù)列的周期．若數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2且n∈N），且x₁=2，x₂=a（a∈R，a≠0），當數(shù)列{x_n}的正周期最小時，該數(shù)列的前2012項的和是（　�。�

• A、1344
• B、2684
• C、1342
• D、2688

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：首先要弄清題目中所說的周期數(shù)列的含義，然后利用這個定義，針對題目中的數(shù)列的周期情況分類討論，從而將a值確定，進而將數(shù)列的前2012項和確定．

解答： 解：若其最小周期為1，則該數(shù)列是常數(shù)列，即每一項都等于2，此時a=2，
不滿足x₃=|x₂-x₁|；
若其最小周期為2，則有a₃=a₁，即|a-2|=2，a-2=2或-2，a=4或a=0，又a≠0，故a=4，
此時該數(shù)列的項依次為1，2，1，1，0，…，由此可見，此時它并不是以2為周期的數(shù)列；
當a=2時，x₁=2，x₂=2，此時x₃=0，
由x_n+1=|x_n-x_n-1|依次求得數(shù)列為2，2，0，2，2，0，2，2，0，…，構(gòu)成以3為周期的周期數(shù)列．
綜上所述，當數(shù)列{x_n}的周期最小時，其最小周期是3，a=2，又2012=3×670+2，
故此時該數(shù)列的前2012項和是670×（2+2+0）+2=2684．
故選：B．

點評：此題考查對新概念的理解，考查了學生分析問題和解決問題的能力，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．