Question

（2012•臨沂二模）已知函數(shù)f（x）=ax-

1

x

-（a+1）lnx（a＜1）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若0＜a＜

1

e

，試證對(duì)區(qū)間[1，e]上的任意x₁、x₂，總有成立|f（x₁）-f（x₂）|＜

1

e

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）確定函數(shù)在區(qū)間[1，e]上的最值，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：f′（x）=

ax-a-1

x

，x＞0
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令f′（x）＞0得x＞1+

1

a

，令f′（x）＜0得0＜x＜1+

1

a

，
此時(shí)f（x）的增區(qū)間為（1+

1

a

，+∞），減區(qū)間為（0，1+

1

a

）；
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=-

1

x

＜0，f（x）在定義域上遞減；
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＞0得0＜x＜1+

1

a

，令f′（x）＜0得x＞1+

1

a

，
此時(shí)f（x）的減區(qū)間為（1+

1

a

，+∞），增區(qū)間為（0，1+

1

a

）；
（Ⅱ）證明：由已知，a∈（0，1），由（Ⅰ）知，此時(shí)f（x）的減區(qū)間為（0，1+

1

a

），
又

1

a

∈（e，+∞），1+

1

a

＞e
∴f（x）在[1，e]上遞減，最大值為f（1）=a-

1

a

，最小值為f（e）=ae-

1

a

-a-1，
所以對(duì)任意x₁、x₂，總有|f（x₁）-f（x₂）|＜f（1）-f（e）=（2-e）a+1＜（2-e）•

1

e

+1=

2

e

即|f（x₁）-f（x₂）|＜

2

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．