Question

已知函數(shù)f（x）=

(x+1)(x+a)

x2

為偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）記集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}，λ=lg²2+lg2lg5+lg5-

1

4

，判斷λ與E的關系；
（3）令h（x）=x²f（x）+ax+b，若集合A={x|x=h（x）}，集合B={x|x=h[h（x）]}，若A=∅，求集合B．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,對數(shù)的運算性質

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由f（x）為偶函數(shù)可得

(x+1)(x+a)

x2

=

(-x+1)(-x+a)

x2

；從而求a；
（2）由題意化簡集合E，再求λ即可；
（3）h（x）=（x²-1）+ax+b=x²+ax+b-1，由A=∅知h（x）＞x，從而可得h[h（x）]＞h（x）＞x，故B=∅．

解答： 解：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x），
即

(x+1)(x+a)

x2

=

(-x+1)(-x+a)

x2

；
解得，a=-1；
（2）由（1）知，f（x）=

x2-1

x2

，
當x=±1時，f（x）=0，當x=2時，f（x）=

3

4

；
故E={0，

3

4

}；
而λ=lg²2+lg2lg5+lg5-

1

4

=lg2（lg2+lg5）+lg5-

1

4

=lg2+lg5-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

，
故λ∈E；
（3）h（x）=（x²-1）+ax+b=x²+ax+b-1，
若存在x，使h（x）≤x，則由h（x）=x²+ax+b-1（a，b∈R）開口向上，
因此存在x，使h（x）＞x，于是f（x）=x有實根，
∵A=∅，
∴h（x）＞x，
∴h[h（x）]＞h（x）＞x，
于是h[h（x）]=x無實數(shù)根，
即B=∅．

點評：本題考查了函數(shù)的性質應用及對數(shù)的運算，屬于中檔題．