Question

19．袋中有大小相同的3個(gè)紅球，2個(gè)白球、1個(gè)黑球，現(xiàn)從中依次取出一球，直至取出3種顏色的球即停止取球．
（1）如果有放回取球，求取球次數(shù)為4的概率；
（2）如果不放回取球，求取球次數(shù)ξ的分布列與期望．

Answer 1

分析 （1）“有放回取球，取球次為4”基本事件總數(shù)n=${6}^{{4}^{\;}}$，取出3種顏色的球包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{2}^{1}×3×2×2×3+{C}_{2}^{1}×3×3×3×2$，由此利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出有放回取球，取球次數(shù)為4的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值為3，4，5，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）“有放回取球，取球次為4”記為事件A，
則基本事件總數(shù)n=${6}^{{4}^{\;}}$=1296，
事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{2}^{1}×3×2×2×3+{C}_{2}^{1}×3×3×3×2$=180，
∴有放回取球，取球次數(shù)為4的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{180}{1296}$=$\frac{5}{36}$．
（2）由已知得ξ的可能取值為3，4，5，6，
P（ξ=3）=$\frac{3×2×1×{A}_{3}^{3}}{6×5×4}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{2}^{1}×3×2×1×3+{C}_{2}^{1}×3×2×3×2}{6×5×4×3}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=5）=$\frac{{C}_{2}^{1}×4×3×2×1×2+{C}_{4}^{2}×3×2×2}{6×5×4×3×2}$=$\frac{7}{30}$，
P（ξ=6）=$\frac{{C}_{5}^{2}×3×2×1×2}{6×5×4×3×2×1}$=$\frac{1}{6}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	3	4	5	6
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{7}{30}$	$\frac{1}{6}$

Eξ=$3×\frac{3}{10}+4×\frac{3}{10}+5×\frac{7}{30}+6×\frac{1}{6}$=$\frac{64}{15}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．