Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+bx，a，b是都不為零的常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，求a，b滿足的條件；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）-b-e^x，若g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）若函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，只要f'（x）=ax²+b＞0或f'（x）=ax²+b＜0即可，即△＜0即可；
（2）由題意得若g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，則則x₁，x₂是g'（x）=2ax-e^x=0的兩個(gè)根，
即方程2a=

ex

x

有兩個(gè)根，設(shè)h(x)=

ex

x

，利用導(dǎo)數(shù)求得h（x）的最小值，h（x）_min即可求得結(jié)論．

解答： 解（1）f'（x）=ax²+b，若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，則由△＜0得ab＞0．
（2）由g（x）=ax²-e^x，若g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
則x₁，x₂是g'（x）=2ax-e^x=0的兩個(gè)根，又x=0不是該方程的根，所以方程2a=

ex

x

有兩個(gè)根，
設(shè)h(x)=

ex

x

，求導(dǎo)得：h′(x)=

ex(x-1)

x2

①當(dāng)x＜0時(shí)，h（x）＜0，且h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
②當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＞0，
若0＜x＜1，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
若x＞1，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
若方程2a=

ex

x

有兩個(gè)根，只需：2a＞h（1）=e，
所以a＞

e

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的最值知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化和劃歸思想解決問(wèn)題的能力，屬難題．