如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=PB=2,∠BPC=θ,則當(dāng)△AEF的面積為
1
2
時(shí),tanθ的值為( 。
分析:先計(jì)算AE的值,再證明AF⊥平面PCB,可得AF⊥EF,利用三角形的面積公式求出AF,進(jìn)而求出PC,BC,即可求tanθ的值.
解答:解:∵PA⊥底面ABC,∠ACB=90°
∴PA⊥AC,PA⊥AB
∴PC2=PB2=PA2+AC2=4+4=8
∵AE⊥PB,PA=AB=2,∴AE=
PA×AB
PB
=
2

∵PA⊥底面ABC,∴BC⊥PA,
∵BC⊥AC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC
∴AF⊥BC
∵AF⊥PC,BC∩PC=C,∴AF⊥平面PCB
∴AF⊥EF
∴△AEF的面積=
AF×EF
2
=
1
2

∴AF×EF=1
∵AE=
2
=
AF2+EF2

AF2+
1
AF2
=2

∴AF=1
∵PA=2,∴∠APC=30°,∴PC=
4
3
3

∵PB=2
2
,∴BC=
2
3
6

∴tanθ=
BC
PC
=
2
3
6
4
3
3
=
2
2
點(diǎn)評:本題考查線面垂直,考查空間角,考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA、PB、PC兩兩垂直,且PA=3.PB=2,PC=1.設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn),定義f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積.若f(M)=(
1
2
,x,y),且
1
x
+
a
y
≥8恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為
 

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如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=AB=2,∠BPC=θ,則當(dāng)△AEF的面積最大時(shí),tanθ的值為( 。

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如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分別為AB、AC中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DE‖平面PBC;
(Ⅱ)求證:AB⊥PE;
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如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PA=PB=PC,∠BPA=∠BPC=∠CPA=40°,一繩子從A點(diǎn)繞三棱錐側(cè)面一圈回到點(diǎn)A的最短距離是
3
,則PA=
1
1

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精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°,AP=AC,點(diǎn)D,E分別在棱
PB,PC上,且BC∥平面ADE
(I)求證:DE⊥平面PAC;
(Ⅱ)當(dāng)二面角A-DE-P為直二面角時(shí),求多面體ABCED與PAED的體積比.

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