Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為(a>b>0,φ為參數(shù)),在以O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線l:θ=α與C1,C2各有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)α=0時(shí),這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2,當(dāng)α=時(shí),這兩個(gè)交點(diǎn)重合.

(1)分別說(shuō)明C1,C2是什么曲線,并求出a與b的值.

(2)設(shè)當(dāng)α=時(shí),l與C1,C2的交點(diǎn)分別為A1,B1,當(dāng)α=-時(shí),l與C1,C2的交點(diǎn)為A2,B2,求四邊形A1A2B2B1的面積.

 

Answer 1

(1) C1是圓,C2是橢圓. a=3 b=1 (2)

【解析】(1)C1是圓,C2是橢圓.

當(dāng)α=0時(shí),射線l與C1,C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1,0),(a,0),因?yàn)檫@兩點(diǎn)間的距離為2,a>0,所以a=3.當(dāng)α=時(shí),射線l與C1,C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,1),(0,b),因?yàn)檫@兩點(diǎn)重合,所以b=1.

(2) C1,C2的普通方程分別為x2+y2=1和+y2=1.

當(dāng)α=時(shí),射線l與C1交點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為x=,與C2交點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為x'=.

當(dāng)α=-時(shí),射線l與C1,C2的兩個(gè)交點(diǎn)A2,B2分別與A1,B1關(guān)于x軸對(duì)稱,因此,四邊形A1A2B2B1為梯形.

故四邊形A1A2B2B1的面積為=.