Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；

（Ⅱ）判斷方程（為的導(dǎo)數(shù)）在區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù)，說明理由；

（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得.

（Ⅱ）設(shè)， .

由的單調(diào)性及因?yàn)?/span>， ,可知有且只有一個(gè)，使成立.即方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，由于，即在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且在兩側(cè)異號.

由的單調(diào)性可知函數(shù)在處取得極大值.

當(dāng)時(shí)，雖然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，但在 兩側(cè)同號，不滿足在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)的要求.

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且在兩側(cè)異號，

則只需滿足： .即可得到的取值范圍

試題解析：

（Ⅰ）. .

（Ⅱ）設(shè)， .

當(dāng)時(shí)， ，則函數(shù)為減函數(shù).

又因?yàn)?/span>， ,

所以有且只有一個(gè)，使成立.

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，由于，即在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且在兩側(cè)異號.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，所以在上， ，即成立，函數(shù)為增函數(shù)；

在上， ，即成立，函數(shù)為減函數(shù).

則函數(shù)在處取得極大值.

當(dāng)時(shí)，雖然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，但在 兩側(cè)同號，不滿足在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)的要求.

由于 ，顯然.

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且在兩側(cè)異號，

則只需滿足：

.即，解得.