Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓（）的離心率是e，定義直線為橢圓的“類準(zhǔn)線”，已知橢圓C的“類準(zhǔn)線”方程為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)P在橢圓C的“類準(zhǔn)線”上（但不在y軸上），過點(diǎn)P作圓O：的切線l，過點(diǎn)O且垂直于的直線l交于點(diǎn)A，問點(diǎn)A是否在橢圓C上？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在，證明見解析.

【解析】

（1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程，聯(lián)立方程組求得，，，則橢圓方程可求；

（2）設(shè)（），當(dāng)時(shí)和時(shí)，求出A的坐標(biāo)，代入橢圓方程驗(yàn)證知，A在橢圓上，當(dāng)時(shí)，求出過點(diǎn)O且垂直于的直線與橢圓的交點(diǎn)，寫出該交點(diǎn)與P點(diǎn)的連線所在直線方程，由原點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑說(shuō)明直線是圓的切線，從而說(shuō)明點(diǎn)A在橢圓C上.

（1）由題意得：，，又，

聯(lián)立以上可得：，，.∴橢圓C的方程為；

（2）如圖，由（1）可知，橢圓的類準(zhǔn)線方程為，不妨取，

設(shè)（），則，

∴過原點(diǎn)且與垂直的直線方程為，

當(dāng)時(shí)，過P點(diǎn)的圓的切線方程為，

過原點(diǎn)且與垂直的直線方程為，聯(lián)立，解得：，

代入橢圓方程成立；

同理可得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A在橢圓上；

當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，

解得，，

所在直線方程為.

此時(shí)原點(diǎn)O到該直線的距離，

∴說(shuō)明A點(diǎn)在橢圓C上；同理說(shuō)明另一種情況的A也在橢圓C上.

綜上可得，點(diǎn)A在橢圓C上.