Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意a，b∈R，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0
（1）若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大小關(guān)系．
（2）若f（1+m）+f（3-2m）≥0求實(shí)數(shù)m的取值范．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在R上為增函數(shù)即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求實(shí)數(shù)m的取值范．

解答： 解：（1）設(shè)x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，
則由條件可得

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，
則f（x₁）+f（-x₂）＜0，
即f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
則f（x₁）＜f（x₂），則f（x）在R上為增函數(shù)；
則若a＞b，則f（a）＞f（b）．
（2）若f（1+m）+f（3-2m）≥0，
則f（1+m）≥-f（3-2m）=f（2m-3），
由（1）f（x）在R上為增函數(shù)；
∴不等式等價(jià)為1+m≥2m-3，
解得m≤4，
故實(shí)數(shù)m的取值范（-∞，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．