【題目】已知函數(shù).

(1)若f (x)在區(qū)間(-∞,2)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;

(2)若a=0,x0<1,設(shè)直線y=g(x)為函數(shù)f (x)的圖象在x=x0處的切線,求證:f (x)≤g(x).

【答案】(1);(2)見解析

【解析】試題分析:1求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),通過恒成立,推出即可求出的范圍;(2利用化簡,通過函數(shù)處的切線方程為,討論當(dāng), ;當(dāng),利用分析法證明;構(gòu)造函數(shù) ,求出,構(gòu)造新函數(shù)利用公式的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值,然后推出結(jié)論.

試題解析:(1)解 易知f ′(x)=-,

由已知得f ′(x)≥0對x∈(-∞,2)恒成立,

故x≤1-a對x∈(-∞,2)恒成立,∴1-a≥2,∴a≤-1.

即實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-1].

(2)證明 a=0,則f (x)=.

函數(shù)f (x)的圖象在x=x0處的切線方程為y=g(x)=f′(x0)(x-x0)+f (x0).

令h(x)=f (x)-g(x)=f (x)-f ′(x0)(x-x0)-f (x0),x∈R,

則h′(x)=f ′(x)-f ′(x0)=.

設(shè)φ(x)=(1-x)ex0-(1-x0)ex,x∈R,

則φ′(x)=-ex0-(1-x0)ex,∵x0<1,∴φ′(x)<0,

∴φ(x)在R上單調(diào)遞減,而φ(x0)=0,

∴當(dāng)x<x0時,φ(x)>0,當(dāng)x>x0時,φ(x)<0,

∴當(dāng)x<x0時,h′(x)>0,當(dāng)x>x0時,h′(x)<0,

∴h(x)在區(qū)間(-∞,x0)上為增函數(shù),在區(qū)間(x0,+∞)上為減函數(shù),

∴x∈R時,h(x)≤h(x0)=0,

∴f (x)≤g(x).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某服裝廠生產(chǎn)一種服裝,每件服裝的成本為40元,出廠單價為60元,該廠為鼓勵銷售商訂購,決定當(dāng)一次訂購量超過100件時,每多訂購一件,訂購的全部服裝的出廠單價就降低0.02元,根據(jù)市場調(diào)查,銷售商一次訂購量不會超過500.

1)設(shè)一次訂購量為x件,服裝的實際出廠單價為P元,寫出函數(shù)的表達(dá)式;

2)當(dāng)銷售商一次訂購450件服裝時,該服裝廠獲得的利潤是多少元?

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【題目】寫出下列命題的否定,并判斷其真假:

(1)任何有理數(shù)都是實數(shù);

(2)存在一個實數(shù),能使成立.

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【題目】5cm為單位長度作單位圓,分別作出,,,,角的正弦線余弦線和正切線,量出它們的長度,寫出這些角的正弦余弦和正切的近似值,再使用科學(xué)計算器求這些角的正弦余弦和正切,并進(jìn)行比較.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)若只有一個零點(diǎn),求;

(2)當(dāng)時,對任意,恒成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(題文)(題文)已知橢圓的離心率為,過右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓A,B兩點(diǎn), N為弦AB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求直線ON的斜率

(2)求證:對于橢圓上的任意一點(diǎn)M,都存在,使得成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))

(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;

)若過且與直線垂直的直線與曲線相交于兩點(diǎn),,求.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,分別過橢圓左、右焦點(diǎn)的動直線相交于點(diǎn),與橢圓分別交于不同四點(diǎn),直線的斜率滿足.已知當(dāng)軸重合時,.

Ⅰ)求橢圓的方程;

Ⅱ)是否存在定點(diǎn),使得為定值?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo)并求出此定值;若不存在,說明理由.

【答案】(Ⅰ),.

【解析】試題分析:(1)當(dāng)軸重合時,垂直于軸,得,,從而得橢圓的方程;(2)由題目分析如果存兩定點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡是橢圓或者雙曲線 ,所以把坐標(biāo)化,可得點(diǎn)的軌跡是橢圓,從而求得定點(diǎn)和點(diǎn).

試題解析:當(dāng)軸重合時,, ,所以垂直于軸,得,, ,橢圓的方程為.

焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為, 當(dāng)直線斜率不存在時,點(diǎn)坐標(biāo)為;

當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)斜率分別為, 設(shè), 得:

, 所以:,, 則:

. 同理:, 因為

, 所以, , 由題意知, 所以

, 設(shè),則,即,由當(dāng)直線斜率不存在時,點(diǎn)坐標(biāo)為也滿足此方程,所以點(diǎn)在橢圓.存在點(diǎn)和點(diǎn),使得為定值,定值為.

考點(diǎn):圓錐曲線的定義,性質(zhì),方程.

【方法點(diǎn)晴】本題是對圓錐曲線的綜合應(yīng)用進(jìn)行考查,第一問通過兩個特殊位置,得到基本量,,得,,從而得橢圓的方程,第二問由題目分析如果存兩定點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡是橢圓或者雙曲線 ,本題的關(guān)鍵是從這個角度出發(fā),把坐標(biāo)化,求得點(diǎn)的軌跡方程是橢圓,從而求得存在兩定點(diǎn)和點(diǎn).

型】解答
結(jié)束】
21

【題目】已知,,.

(Ⅰ)若,求的極值;

(Ⅱ)若函數(shù)的兩個零點(diǎn)為,記,證明:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,是底面邊長為1的正三棱錐,分別為棱長上的點(diǎn),截面底面,且棱臺與棱錐的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

(1)證明:為正四面體;

(2)若,求二面角的大。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

(3)設(shè)棱臺的體積為,是否存在體積為且各棱長均相等的直平行六面體,使得它與棱臺有相同的棱長和?若存在,請具體構(gòu)造出這樣的一個直平行六面體,并給出證明;若不存在,請說明理由.

(注:用平行于底的截面截棱錐,該截面與底面之間的部分稱為棱臺,本題中棱臺的體積等于棱錐的體積減去棱錐的體積.)

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