(2006•東城區(qū)三模)對(duì)于在區(qū)間[m,n]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x),如果對(duì)于任意x∈[m,n],均有|f(x)-g(x)|≤1,則稱f(x)與g(x)在[m,n]上是接近的.若函數(shù)y=x2-2x+3與函數(shù)y=3x-2在區(qū)間[m,n]上是接近的,給出如下區(qū)間①[1,4]②[1,3]③[1,2]∪[3,4]④[1,
32
]∪[3,4]
,則區(qū)間[m,n]可以是
③、④
③、④
.(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)
分析:根據(jù)題中的新定義可知,若函數(shù)y=x2-2x+3與函數(shù)y=3x-2在區(qū)間[m,n]上是接近的,得兩函數(shù)解析式之差的絕對(duì)值小于等于1,分兩種情況分別求出兩不等式的解集,然后求出兩解集的交集即可求出x的取值范圍即為新定義中的區(qū)間,然后再對(duì)①②③④進(jìn)行判斷;
解答:解:根據(jù)函數(shù)y=x2-3x+4與函數(shù)y=2x-3在區(qū)間[a,b]上是接近的,
可得:|(x2-2x+3)-(3x-2)|≤1,
即x2-5x+4≤0…①
x2-5x+6≥0…②,
由①得:(x-1)(x-4)≤0,解得:1≤x≤4;
由②得:(x-2)(x-3)≥0,解得:x≥3或x≤2
綜上,x∈[1,2]∪[3,4].
∵①[1,4]?[1,2]∪[3,4];
②[1,3]]?[1,2]∪[3,4];
③[1,2]∪[3,4]]=[1,2]∪[3,4];
④[1,
3
2
]∪[3,4]⊆[1,2]∪[3,4];
∴區(qū)間[m,n]可以是③、④
故答案為③、④
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生掌握新定義并靈活運(yùn)用新定義化簡求值,是一道綜合題,解題的關(guān)鍵還是要正確求解絕對(duì)值不等式
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