如圖,△ABC中,AC=BC,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2,F(xiàn)為BE的中點,DF平面ABC,?
(1)求CD的長;?
(2)求證:AF⊥BD;?
(3)求平面ADF與平面ABC所形成的較小的二面角的度數(shù).
精英家教網(wǎng)

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(1)取AB中點G,連FG、CG,則FGAE,
又AE和CD都垂直于平面ABC,∴AECD,
∴FGCD,∴F、G、C、D四點共面.
又平面FGCD∩平面ABC=CG,DF平面ABC,
∴DFCG,∴四邊形FGCD是平行四邊形,∴CD=FG=
1
2
AE=1

(2)證明:直角三角形ABE中,AE=AB,F(xiàn)是BE的中點,∴AF⊥BE,
又△ABC中,AC=BC,G是AB中點,∴CG⊥AB,又AE垂直于平面ABC,∴AE⊥CG,
又AE∩AB=A,∴CG⊥面ABE.∵DFCG,∴DF⊥面ABE,∴AF⊥DF
又∵BE∩DF=F,∴AF⊥面BED,∴AF⊥BD.
(3)設面ADF∩面ABC=L,∵DF平面ABC,∴DFL,
又DF⊥面ABE,∴L⊥面ABE,∴L⊥AF,L⊥AB,
∴∠FAB即為所求二面角的平面角.直角三角形ABE中,易得∠FAB=45°
∴平面ADF與平面ABC所形成的較小的二面角為45°.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,平面ABC外一點P在平面ABC內(nèi)的射影是AB中點M,二面角P-AC-B的大小為45°.
(I)求二面角P-BC-A的正切值;
(II)求二面角C-PB-A的正切值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖在△ABC中,AB⊥AC,
BD
=
5
3
BC
,|
AC
|
=2,則
AC
AD
=( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•寧波模擬)如圖,△ABC中,∠B=90°,AB=
2
,BC=1,D、 E
兩點分別在線段AB、AC上,滿足
AD
AB
=
AE
AC
=λ,λ∈(0,1)
.現(xiàn)將△ABC沿DE折成直二面角A-DE-B.
(1)求證:當λ=
1
2
時,面ADC⊥面ABE;
(2)當λ∈(0,1)時,直線AD與平面ABE所成角能否等于
π
6
?若能,求出λ的值;若不能,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆黑龍江大慶實驗中學高二上學期開學考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

(本題滿分12分)如圖,ΔABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,平面ABC外一點P在平面ABC內(nèi)的射影是AB中點M,二面角P—AC—B的大小為45°.

(I)求二面角P—BC—A的正切值;

(II)求二面角C—PB—A的正切值.

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年黑龍江省大慶實驗中學高二(上)期初數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,平面ABC外一點P在平面ABC內(nèi)的射影是AB中點M,二面角P-AC-B的大小為45°.
(I)求二面角P-BC-A的正切值;
(II)求二面角C-PB-A的正切值.

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