【題目】已知函數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)求證:對(duì),都有.
【答案】(1) 單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(2) ;(3)證明見解析.
【解析】試題分析:
(1)求解導(dǎo)函數(shù)有.結(jié)合函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系可得的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(2)二次求導(dǎo)可得.分類討論:
①當(dāng)時(shí), 對(duì)一切恒成立.
②當(dāng)時(shí), , 對(duì)一切不恒成立.
③當(dāng)時(shí), 對(duì)一切不恒成立.
綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(3)結(jié)合(2)的結(jié)論,取,有時(shí), .則.結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可證得題中的不等式.
試題解析:
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù),
定義域?yàn)?/span>, .
令可得,令可得.
所以的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(2),
.
①當(dāng)時(shí), , .
故在區(qū)間上遞增,
所以,從而在區(qū)間上遞增.
所以對(duì)一切恒成立.
②當(dāng)時(shí), ,
.
當(dāng)時(shí), ,
當(dāng)時(shí), .
所以時(shí), .
而,故.
所以當(dāng)時(shí), , 遞減,
由,知,此時(shí)對(duì)一切不恒成立.
③當(dāng)時(shí), ,
在區(qū)間上遞減,有,
從而在區(qū)間上遞減,有.
此時(shí)對(duì)一切不恒成立.
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(3)由(2)可知,取,當(dāng)時(shí),有.
取,有,即.
所以
,
所以.
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決定逐個(gè)(不重復(fù))進(jìn)行嘗試.
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(2)設(shè)第次輸入后能成功開機(jī),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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(Ⅰ)若,過原點(diǎn)作曲線的切線,求直線的方程;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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(Ⅱ)用表示,并求的最大值。
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(1)求證: ;
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