Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，
且a₃=4，S₄=S₃+8，求：（1）等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（2）若b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和 T_n．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橐阎獢?shù)列{a_n}為等比數(shù)列，所以只要找到首項(xiàng)和公比即可，利用S₄=S₃+8，S₄-S₂=a₄，得a₄=8，再根據(jù)q=

a4

a3

a1=

a3

q2

求a₁和q，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即可得等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）把（1）中所求a_n=2^n-1代入b_n=na_n，，可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=n•2^n-1，然后利用錯位相減，可以求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和 T_n．

解答：解：（1）∵S₄=S₃+8，∴a₄=S₄-S₃=8，又∵a₃=4，
∴q=

a4

a3

=

8

4

=2，a1=

a3

q2

=1
∴等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2^n-1．
（2）由（1）知：數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公比為2，a_n=2^n-1，b_n=n•2^n-1，
∴b_n=n•2^n-1，
∴T_n=b₁+b₂+b₃…+b_n=1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1
2T_n=2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴T_n=（n-1）2ⁿ+1

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及錯位相減求和，做題時要細(xì)心．