【題目】已知函數(shù),.
(I)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn),當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ) 當(dāng)或時(shí),有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)或時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn).( Ⅱ) .
【解析】
(I)求導(dǎo),對a分類討論,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)研究 的單調(diào)性及最值,結(jié)合的極限,即可求解函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(Ⅱ)由題意可得p>0,化簡原不等式,設(shè),其中x∈[1,+∞),求得導(dǎo)數(shù),討論p的范圍,判斷單調(diào)性,即可得到所求范圍.
(I)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
求導(dǎo),得,
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,
且,所以有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),,,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
,
設(shè) ,則,
,.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
,
當(dāng)時(shí),,所以有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)及時(shí),,且當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,所以有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上所述:當(dāng)或時(shí),有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)或時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn).
(Ⅱ)曲線在點(diǎn)處的切線為,即,
由題意得,解得,
所以,
由題意知,當(dāng)時(shí),,所以,
從而當(dāng)時(shí),,
由題意知,即,其中,
設(shè),其中,
設(shè),即,其中,
則,其中,
①當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span> ,所以是增函數(shù),
從而當(dāng)時(shí),,
所以是增函數(shù),從而.
故當(dāng)時(shí)符合題意;
②當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>時(shí),,所以在區(qū)間上是減函數(shù),
從而當(dāng)時(shí),,
所以在上是減函數(shù),從而,
故當(dāng)時(shí)不符合題意.
③當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>時(shí),,所以是減函數(shù),
從而當(dāng)時(shí),,
所以是減函數(shù),從而,
故當(dāng)時(shí)不符合題意,
綜上,p的取值范圍是 。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方體中滿足,若點(diǎn)在棱上點(diǎn)在棱上,且.
(1)求證:;
(2)當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí),求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為建立健全國家學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測評價(jià)機(jī)制,激勵(lì)學(xué)生積極參加身體鍛煉,教育部印發(fā)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)(2014年修訂)》,要求各學(xué)校每學(xué)年開展覆蓋本校各年級學(xué)生的《標(biāo)準(zhǔn)》測試工作.為做好全省的迎檢工作,某市在高三年級開展了一次體質(zhì)健康模擬測試(健康指數(shù)滿分100分),并從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)據(jù),根據(jù)他們的健康指數(shù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計(jì)這200名學(xué)生健康指數(shù)的平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)由頻率分布直方圖知,該市學(xué)生的健康指數(shù)近似服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差.
①求;
②已知該市高三學(xué)生約有10000名,記體質(zhì)健康指數(shù)在區(qū)間的人數(shù)為,試求.
附:參考數(shù)據(jù),
若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十九大提出,堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村真脫貧,堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合,幫助貧困村種植蜜柚,并利用電商進(jìn)行銷售,為了更好地銷售,現(xiàn)從該村的蜜柚樹上隨機(jī)摘下了個(gè)蜜柚進(jìn)行測重,其質(zhì)量分別在,,,,, (單位:克)中,其頻率分布直方圖如圖所示,
(Ⅰ)已經(jīng)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在,的蜜柚中抽取了個(gè),現(xiàn)從這個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取個(gè)。求這個(gè)蜜柚質(zhì)量均小于克的概率:
(Ⅱ)以各組數(shù)據(jù)的中間值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平,以頻率代表概率,已知該貧困村的蜜柚樹上大約還有個(gè)蜜柚等待出售,某電商提出了兩種收購方案:
方案一:所有蜜柚均以元/千克收購;
方案二:低于克的蜜柚以元/個(gè)收購,高于或等于克的以元/個(gè)收購.
請你通過計(jì)算為該村選擇收益最好的方案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形的對角線與交于點(diǎn),,,點(diǎn),分別在,上,,交于點(diǎn).將沿折到的位置,.
(I)證明:平面平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中有如下問題:今有蒲生一日,長三尺,莞生一日,長1尺.蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長等?意思是:今有蒲第一天長高3尺,莞第一天長高1尺,以后蒲每天長高前一天的一半,莞每天長高前一天的2倍.若蒲、莞長度相等,則所需時(shí)間為( 。
(結(jié)果精確到0.1.參考數(shù)據(jù):lg2=0.3010,lg3=0.4771.)
A. 天B. 天C. 天D. 天
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,且|AF|=3.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)F做互相垂直的兩條直線l1,l2分別交直線l:x=4于M,N兩點(diǎn),直線AM,AN分別交橢圓于P,Q兩點(diǎn),求證:P,F(xiàn),Q三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù),證明:是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若不等式對于任意成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
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