Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，證明：是函數(shù)有兩個零點(diǎn)的充分條件.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)在上單調(diào)遞增，得到，從而得到在上恒成立，利用基本不等式得到的最小值，從而得到的范圍；（2）將問題等價(jià)于“函數(shù)有兩個零點(diǎn)”，利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性和最小值，再利用導(dǎo)數(shù)求出當(dāng)時，其最小值恒小于，從而得到有兩個零點(diǎn)，從而使命題得證.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，

所以在上恒成立，，

即在上恒成立，

即在上恒成立，

因?yàn)?/span>

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，

所以最小值為

所以

所以.

（2）由題意知，

“函數(shù)有兩個零點(diǎn)”等價(jià)于“方程兩個根”，

由于，也等價(jià)于“函數(shù)有兩個零點(diǎn)”

則

當(dāng)時，令得，令得，

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

因此，

令，

則

當(dāng)時，

所以在上為減函數(shù)，且，

所以，即，

而，得，

又，，

故函數(shù)有兩個零點(diǎn)

即是函數(shù)有兩個零點(diǎn)的充分條件.