Question

3．已知在圓x²+y²-4x+2y=0內(nèi)，過點(diǎn)E（1，0）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（　�。�

• A． $3\sqrt{5}$
• B． 6$\sqrt{5}$
• C． $4\sqrt{15}$
• D． 2$\sqrt{15}$

Answer 1

分析 圓x²+y²-4x+2y=0即（x-2）²+（y+1）²=5，圓心M（2，-1），半徑r=$\sqrt{5}$，最長(zhǎng)弦AC為圓的直徑．BD為最短弦，AC與BD相垂直，求出BD，由此能求出四邊形ABCD的面積．

解答 解：圓x²+y²-4x+2y=0即（x-2）²+（y+1）²=5，圓心M（2，-1），半徑r=$\sqrt{5}$，
最長(zhǎng)弦AC為圓的直徑為2$\sqrt{5}$，
∵BD為最短弦
∴AC與BD相垂直，ME=d=$\sqrt{2}$，
∴BD=2BE=2$\sqrt{5-2}$=2$\sqrt{3}$，
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=$\frac{1}{2}$BD×EA+$\frac{1}{2}$×BD×EC
=$\frac{1}{2}$×BD×（EA+EC）=$\frac{1}{2}$×BD×AC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{5}$=2$\sqrt{15}$．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形的面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．