Question

某企業(yè)為打入國際市場，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn)．已

知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：(單位：萬美元)

項目類別	年固定成本	每件產(chǎn)品成本	每件產(chǎn)品銷售價	每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)
A產(chǎn)品	10	m	5	100
B產(chǎn)品	20	4	9	60

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價格決定，預(yù)計m∈[3,4]．另外，年銷售x件B產(chǎn)品時需上交0.05x²萬美元的特別關(guān)稅．假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去．

(1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤y₁，y₂與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域；

(2)如何投資才可獲得最大年利潤？請你做出規(guī)劃．

 

Answer 1

【答案】

（1）y₁=（5-m）x-10，0＜x≤100，且x∈N，y₂=-0.05x²+5x-20，0＜x≤60且x∈N；

（2）當(dāng)3≤m＜3.85投資A產(chǎn)品200件可獲得最大利潤；當(dāng)3.85＜m≤4投資B產(chǎn)品100件可獲得最大利潤；m=3.85生產(chǎn)A產(chǎn)品與B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤。

【解析】

試題分析：（1）y₁=5x-（10+mx）=（5-m）x-10，0＜x≤100，且x∈N

y₂=9x-（4x+20）-0.05x²=-0.05x²+5x-20，0＜x≤60且x∈N

（2）∵3≤m≤4∴5-m＞0∴y₁=（5-m）x-10為增函數(shù)

又0≤x≤100，x∈N∴x=100時，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤（5-m）×100-10=490-100m（萬美元）

y₂=-0.05x²+5x-20=-0.05（x-50）²+105,0≤x≤60，x∈N

∴x=50時，生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤105（萬美元）（y₁）_max-（y₂）_max=490-100m -105=385-100 m                           

當(dāng)3≤m＜3.85時，（y₁）_max-（y₂）_max＞0

當(dāng)m=3.85時，（y₁）_max-（y₂）_max=0

當(dāng)3.85＜m≤4時，（y₁）_max-（y₂）_max＜0

∴當(dāng)3≤m＜3.85投資A產(chǎn)品200件可獲得最大利潤

當(dāng)3.85＜m≤4投資B產(chǎn)品100件可獲得最大利潤

m=3.85生產(chǎn)A產(chǎn)品與B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤

考點：本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用。

點評：考查把實際問題轉(zhuǎn)化為抽象函數(shù)模型的能力，并能根據(jù)模型的解決，指導(dǎo)實際生活中的決策問題，屬中檔題．